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 Von Galileos Biegetheorie zur Sandwichtheorie GALILEO Historische Entwicklung der Biegetheorie Heute beherrschen wir beide Disziplinen perfekt,
aber noch vor rund 250 Jahren waren die theoretischen Erkenntnisse zur
Baustatik und zur Biegelehre reichlich lückenhaft. Ein kleiner historischer
Streifzug soll uns den mühsamen Weg der Biegetheorie von Leonardo
da Vinci bis hin zum Begründer der modernen Baustatik, Claude Louis
Navier und zu den statischen Besonderheiten der Sandwichtheorie aufzeigen. Den Anfang machten Leonardo da Vinci und Galileo
Galilei
Abb. 8.3.1 Tab. VIII aus dem Theatrum Pontificiale von Jacob Leupold
Abb. 8.3.2 Leonardo da Vinci
Galileos Hauptverdienst an der Biegetheorie Galileo erkannte, dass die Summe der links- und rechtsdrehenden
Momente gleich Null sein müsse, aber das Gleichgewicht der inneren
Kräfte ist in seiner Theorie noch nicht enthalten. Galileis Hauptverdienst
ist es, dass erstmalig die äußere Belastung in Relation zu
den inneren Spannungen gesetzt wurde. Doch die Lage der Drehachse ordnete
er am unteren Rand des eingespannten Balkens statt in der Mitte des Balkenquerschnittes
an. Dieser kleine aber statisch bedeutsame und aus der Historie verständliche
Irrtum sollte sich bis in das 19. Jahrhundert auswirken. "Achse des Gleichgewichts" und Spannungsverteilung
entdeckt Bei Biegebeanspruchung stellte Hooke fest, dass die Faser teils verlängert, teils verkürzt wird. Hier findet sich also der erste Ansatz für die Existenz einer neutralen Faser. Isaac Newton (1642 - 1727) formulierte 1687 die Axiome über das Gleichgewicht der Kräfte und den Zusammenhang zwischen Kraft und Bewegung. Edme Mariotte (1620 - 1684) untersuchte das Galileische Problem, wandte als erster die Hookesche Hypothese auf das Biegeproblem an, und gelangte zu einer dreieckförmigen Spannungsverteilung. Auch Mariotte hatte zunächst Schwierigkeiten die Neutralachse richtig zu platzieren. Doch dann ordnete er seine "Achse des Gleichgewichts" richtig in der halben Höhe des rechteckigen Querschnittes an. Damit war prinzipiell der Berechnungsgang der Biegung entdeckt. Doch Mariottes Veröffentlichung blieb ohne nennenswerte Resonanz. So erging es auch Parent (1666-1716), der wie Mariotte erkannt hatte, dass die Nulllinie in der Höhe des halben Rechteckquerschnittes liegen müsse.
Abb. 8.3.4 Eingespannter Balken mit Lastangriff aus Galileis Discorsi e dimostrazioni
Abb. 8.3.5 Robert Hooke
Abb. 8.3.6 Isaac Newton Die großen Mathematiker greifen ein Da er jedoch den Zuordnungsfehler der Drehachse von
Galilei übernahm, musste das Ergebnis von Leibniz trotz exzellenter
Mathematik zwangsläufig falsch sein. Während der richtige Wert
1/6 (b * h²) ist, führt die Berechnung von Leibniz am rechteckigen
Balkenquerschnitt zu einem doppelt so großen Wert. Galileis Ansatz
würde sogar ein dreimal so großes Widerstandsmoment ergeben. Belastung, Biegung und elastische Linien Leonhard Euler beschäftigte sich danach eingehend
mit der Untersuchung elastischer Linien, die ein gerader Stab nach Biegebeanspruchung
einnimmt. Mit Begriffen wie "Absolute Elastizität" führte Euler bereits an die inhaltliche Nähe des von Thomas Young 1807 geprägten Begriffes "Elastizitätsmodul" heran. Doch stand bei diesen großen Entdeckern nicht der praktische Nutzen für die Bautätigkeit im Vordergrund, es war in erster Linie die Liebe zu der neu entdeckten Mathematik, zur Infinitesimalrechnung.
Abb. 8.3.7 Gottfried Wilhelm von Leibniz
Praxisnähe durch Jakob Leupold Neben diversen Angaben zur Tragfähigkeit hochkant gestellter Balken, sowie zur Abhängigkeit von Stützweite und Biegemoment in §127, bleibt jedoch bei Leupold die Abhängigkeit zwischen Biegemoment und Durchbiegung unklar. Einmal meinte Leupold, dass Balken bei üblicher Belastung keine Durchbiegung haben, an anderer Stelle jedoch macht er sinngemäß die Aussage, dass sich Balken bei zu großem Abstand der Joche unter ihrem eigenen Gewicht durchbiegen würden. Leupolds widersprüchliche Ausführungen zum Verhalten der unteren Faser spiegelt das Verständnisproblem zum Phänomen der Biegung wider, wie es uns grundsätzlich auch bei Galilei und Leibniz begegnet. Seine Feststellung, der hochkant gestellte Balken würde sich nicht durchbiegen, während sich der flachkant liegende Balken durchbiegen könnte, ist aus wissenschaftlicher Sicht nicht haltbar. Leupold kam u. a. zu dem Schluss, dass ein hochkant gestellter Balken viermal soviel tragen würde als ein flachkant gelegter Balken.
Abb. 8.3.10 Jacob Leupold
Abb. 8.3.11 Abdruck § 129 aus Leupolds Theatrum Pontificiale
Wenngleich hier erstmals eine konkrete quantitative Aussage zur Tragfähigkeit gemacht wird, fehlt die unerlässliche Angabe, welche Höhe und welche Breite der betrachtete Balken besitzt. Auch bleibt unklar, wenn Leupold die Durchbiegung zur Beurteilung eines Balkenquerschnittes heranzog, warum er bei flach liegenden Balken eine Durchbiegung, bei hochkant gestellten Balken keine Durchbiegung registrierte. Vermutet man bei Leupolds Praxisnähe, dass er damit einen praktischen Schwellenwert ausdrücken wollte, dann müsste Leupold wahrscheinlich einen Balkenquerschnitt mit dem Seitenverhältnis Höhe: Breite = 2 : 1 untersucht haben. Da Leupold jedoch die Durchbiegung als einzigen Parameter für die Tragfähigkeit anführte, konnte sein Ansatz nicht richtig sein. Denn wird ein Balken auf Biegung beansprucht, dann hängt seine Tragfähigkeit von den Spannungen in der Randfaser ab. Vergleicht man die Spannung in der Randfaser, dann käme man bei einem Seitenverhältnis von Höhe/ Breite = 2 : 1 zu der Aussage, dass ein hochkant gestellter Balken lediglich das Doppelte eines flachkant gestellten Balkens tragen kann. Auch benennt Leupold noch keine Grenzbelastungen und keine Sicherheitswerte. Offensichtlich waren die Versuche Leupolds reine Durchbiegungsversuche an Balken, die man nicht bis zur Bruchgrenze belastet hatte. Erstaunlich ist auch, dass Mariottes Berechnungen zur Spannungsverteilung, die bereits ein halbes Jahrhundert vor Leupolds Buch bekannt waren, keinen Eingang in seine Ausführungen fanden.
Coulomb nahm wie Mariotte gleich große Zug- und Druckspannungen an, und er forderte ein Gleichgewicht für die inneren Kräfte des Balkens. Mit praktischen Versuchen gelang Coulomb dann auch eine Bestätigung seiner Annahme, und damit die zweifelsfreie Bestimmung der Nulllinienlage in halber Höhe des rechteckigen Querschnitts. Coulomb ging genau so vor, wie uns auch heute die Baustatik geläufig ist: Er machte einen gedanklichen Schnitt durch den belasteten Balken, setzte an der Schnittfläche Normal- und Schubspannungen an, und kam dann bei konsequenter Anwendung der Gleichgewichtsbedingungen zu einer Aussage über die Größe der Spannungen. Seine Theorie über das Biegeproblem enthält auch eine Betrachtung der Schubbeanspruchung. Was sich im 21. Jahrhundert so selbstverständlich anhört, war jedoch zur Zeit Coulombs ein höchst schwieriger, abstrakter Verständnisprozess, den viele große Physiker vor, und auch nach Coulomb, nicht in voller Klarheit erkannt und formuliert hatten. Leider blieb im Gegensatz zu Jakob Leupolds "Theatrum Pontificiale" die Abhandlung Coulombs von der Fachwelt weitestgehend unbemerkt. Mag es an der Knappheit seiner Abhandlung liegen, an mangelnden Kommunikationsmöglichkeiten oder am Festhalten alter Theorien, viele Wissenschaftler kehrten auch nach Coulomb wieder zu der unrichtigen Annahme Galileis zurück, dass die Lage der Nulllinie keine Rolle spielen würde.
Abb. 8.3.13 Charles Augustin Coulomb Navier begründet die moderne Baustatik Trennung zwischen Material- und Querschnitteigenschaft
vollzogen 1) Der Begriff "Elastizitätsmodul"
wurde 1807 von Th. Young (1773 bis 1829) eingeführt (4.64). Weitere 150 Jahre bis zur Realisierung des Sandwicheffektes Bei Sandwichbauteilen nutzt man die Dämmschicht nicht nur für den Wärmeschutz, sie integriert zusätzlich auch die mechanischen Eigenschaften der Dämmschicht in die Tragfähigkeit des gesamten Sandwichbauteils, wodurch eine deutliche Steigerung der Tragwirkung erreicht wird. "Väter" der modernen Biegetheorie
von Leonardo da Vinci bis Navier
Abb. 8.3.14 Claude Louis M. H. Navier
Ein praxisnaher Vergleich mit dem bekannten Werkstoff Holz verdeutlicht den Nutzen: Ein drei Meter langer Vollholzbelag, wie man in beispielsweise im Gerüstbau für Gerüstgruppe 3 als Gerüstboden einsetzt, benötigt bei einer Punktlast von 1,5 kN zur Einhaltung einer maximalen Durchbiegung von 20 mm etwa 50 mm Dicke und er muss mehrschichtig verleimt sein, um diese Anforderung zu erfüllen. Dies führt bei einer Belagbreite von 500 mm zu einem Gewicht von 45 kg. Demgegenüber biegt sich ein Sandwichelement von 50 mm Dicke bei gleichen Konditionen nur 16 bis 17 mm durch, es hat außerdem nur 18 kg Gewicht. Das Sandwichelement bietet eine Gewichtseinsparung von 60%. Dieser Gewichtsvorteil macht sich bei Transport, Montage und Dimensionierung der Tragkonstruktion vorteilhaft bemerkbar. Durch den Sandwicheffekt besitzen Sandwichelemente eine ausgezeichnete Biege- und Torsionssteifigkeit und sind aufgrund ihrer hohen Eigensteifigkeit nicht nur selbsttragend. Sie können trotz ihres leichten Gewichts je nach statischem System und Dimensionierung sogar erhebliche Lasten tragen. Aus diesem Grund lassen sich Sandwichelemente als anspruchsvolle Fassadengestaltung und sichere Bedachung in einem sehr breiten Anwendungsspektrum des Bauwesens einsetzen. Grundsätzlich eignen sich Sandwichelemente für alle Leicht- und Mischbauweisen und können auf unterschiedlichste Tragwerke wie Stahlbeton, Stahl, Aluminium oder Holz montiert werden.
Abbildung 8.3.16 links: lose Schichten - rechts: verschäumte
Schichten eines Sandwichelements bieten tragfähige Eigenschaften
und Eigensteifigkeit durch schubfeste Verbindung zwischen Dämmkern
und Deckschichten
Abbildung 8.3.17 Vergleich der Durchbiegung eines 50 mm dicken Sandwichelements mit einem 50 mm dicken Holzbalken - Quelle: Koschade, R. Die Sandwichbauweise; Ernst & Sohn, Berlin 2000
Statische Besonderheiten der Sandwichtheorie Wie Prof. Dr. Klaus Berner 1) , einer der europaweit führenden Statikexperten zur Sandwichbauweise in Kapitel 7- Statik von "Die Sandwichbauweise" ausführlich darlegt, kann der "Satz von Bernoulli" vom Ebenbleiben des Querschnitts nicht mehr eingehalten werden. Bei der Sandwichtheorie sind die Verformungen und die zugehörigen Spannungsumlagerungen infolge der Schubverzerrung in der Kernschicht zu beachten, was man bei "schubstarren Bauteilen" vernachlässigen kann. Deshalb wird zur sicheren Bemessung bei Sandwichbauteilen die Schubverformung berücksichtigt. Rechnerische Ansätze, die bei Sandwichelementen "starren Verbund" unterstellen, würden die Tragfähigkeit der Bauteile überschätzen und eine Bemessung auf der "unsicheren Seite" zur Folge haben. Damit endet der kleine historische Streifzug von der Biegelehre Galileos bis zur Sandwichtheorie. Eine intensive Beschäftigung mit der Statik von Sandwichelementen bieten neben dem erwähnten Kapitel von Prof. Dr. K. Berner auch die GALILEO Infoschriften 8.1 und 8.2.
Abbildung 8.3.18 Theorie des elastischen Verbunds -
Quelle: Berner, K.: Kapitel 7 - Statik in Koschade, R.: Die Sandwichbauweise;
Ernst & Sohn, Berlin 2000 Autoren Rolf Koschade, Günter Hupe
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